El viernes pasado, a poco de expedir a la redacción de ABC la reseña acerca de los rompecabezas secuenciales, recibí una llamada telefónica de una cadena de radio para dar mi parecer acerca de una noticia que habían difundido diversos medios de comunicación: la sospecha de irregularidad que había tenido lugar en Italia por el hecho de que un ciudadano había ganado dos veces en menos de quince días un premio millonario en un concurso. Querían saber si es que hay razones serias de tipo matemático para pensar que esa situación es verdaderamente harto improbable. No obstante creo que lo dejé bastante claro, las explicaciones justificadas en radio no son fáciles de transmitir, y menos con la rapidez que se trabaja en dicho medio, de modo que, pareciéndome a su vez un tema de interés, voy a tratar de describirlas acá con más dato. Evidentemente lo primero fue tratar de conocer de qué tipo de juego se trataba, pues en Italia hay vigentes muchos juegos diferentes. Según se había publicado, en este caso era uno de los del tipo ‘rasca y gana’, concretamente el denominado ‘Nuovo Mega Miliardario’ (que viene a traducirse Al afín que Nuevo Mega Multimillonario; es curioso: A partir de su misma denominación trata de incitar a que te conviertas en un Sólo afortunado ganador, Sin embargo si es que lo logras, se pone en duda tu victoria y te investigan). Si uno entra en la página estatal de L’Agenzia delle Dogane y También dei Monopoli, ADM, (Agencia de Aduanas y Monopolios), observamos de qué forma todas estas actividades están perfecta y legalmente descritas (no podía ser de otra forma), y especificada la mecánica, los Galardones, el porcentaje de premio que queda para el Estado, de qué forma cobrar los Galardones, etc., etc., No obstante También las probabilidades de ganancia, relegado que posiblemente (jamás mejor dicho) los adictos al juego no miran jamás. La mecánica del juego es sencilla: se compra un billete Del mismo modo que el que vemos en la imagen (por 10 €), y raspamos las seis monedas que vemos. Son los números ganadores. Debajo aparecen 15 fajos de billetes que son los números con los cuales juegas. Si al descubrirlos, aparece alguno de los números ganadores, tienes premio (si es que aparece Múltiples veces, se van acumulando las ganancias). Debajo de cada número aparece la cuantía del premio (10€, 20€, etc.). Si es que tienes la fortuna de que en tus números aparece el llamado ‘número Jolly’, la sexta divisa que aparece diferenciada de las otras cinco, entonces multiplicas lo cual ganes por diez. a su vez, adicionalmente, si es que encuentras entre tus números una herradura, de manera directa ganas 200 euros. En la comunicado superior, aparece una banda con la oración «más de 8.000.000 de Galardones de más de 20€». Y en la comunicado inferior, «más de 600 millones (en color rojo) de euros en premios». La comunicado posterior del billete es menos atrayente visualmente. En un severo blanco y gris, se señala de qué manera se pagan los Galardones, se muestra una tabla con las cifras que se pueden ganar, aparece un código de barras que controla la autenticidad, se indica que es para mayores de 18 años, y se sigue animando al personal con el eslogan «aún más bello, Siempre y en toda circunstancia más rico». Refiere a que Versa de una inédita versión del juego, con más Premios que la que hubo inicialmente. En verdad, hay otras dos variantes en activo, entre ellas, una versión para jugar A través de móviles, sin necesidad de comprar boletos en un establecimiento. En definitiva, todas y cada una y cada una de las facilidades del planeta para jugar (y perder dinero, obviamente; o ganarlo). Un primer detalle para alguien que lo observa Desde fuera y que no le atrae para nada el participar (o sea mi caso, el de alguien analítico y crítico) es el hecho de que los números ganadores son diferentes para cada billete, es decir, no es Del mismo modo que la lotería, la primitiva, el euro millón, las quinielas, etc., en los que los números ganadores son los mismos para todos y son públicos, y todo el planeta observa de qué forma aparecen (en caso de las quinielas, depende de los resultados de los partidos de fútbol). Acá no, acá el boleto se ha fabricado de contrato al sistema que haya ideado el programador del ordenador que los compone. ¿Podrían fabricarlos sin premio alguno? Podrían, Sin embargo no lo van a hacer para no poseer inconvenientes legales, obviamente. Por eso el siguiente paso es conocer información cómo el número de boletos que poseen premio, o cuántos boletos se ponen en juego en total. En las bases legales del juego aparece toda esa datos. Concretamente que se fabrican 78.000.000 de boletos en total (han leído bien, 78 millones, y pueden ser más, en cuyo caso, Asimismo se incrementan los Premios proporcionalmente). Y aparece la proxima tabla: Es decir, está estipulado el número total de Premios (controlados informáticamente para que sean exactamente esos, lo que es una garantía de que el juego es justo, Ya que son data públicos y famosos). Vemos que, en total, en todo el país, hay 10 boletos que tienen los 2 millones de euros, 90 con 20.000 euros, etc. Es de suponer, no lo indica en ningún lado, que a medida que se van “gastando” los boletos, se van fabricando otros, con exactamente las mismas peculiaridades de los usados (a fin de que no varíe el número de Premios), y a fin de que Siempre y en toda circunstancia y en toda circunstancia y en todo momento haya en juego esos 78 millones de boletos. Eso sí, el sitio donde se emitan va a ser diferente (probablemente aleatorio, para que los que tengan los 2 millones de euros, por servirnos de un ejemplo, no estén Siempre y en toda circunstancia en exactamente la misma ciudad, región, etc.). Tenemos por tanto todos y cada uno de los data para calcular las probabilidades de que nos toque algo. Recordemos que la probabilidad viene dada por el cociente Esto nos da un valor entre 0 (acontecimiento imposible) y 1 (acontecimiento seguro). Cuanto más cerquita estemos del 1, el juego es más favorable (más posibilidades tenemos de ganar), y cuanto más alejados estemos (más próximos a 0 por consiguiente), el juego es más desfavorable (menos posibilidades tenemos de ganar). En el reglamento del juego, y en la página web, Asimismo tienen la gentileza de mostrarnos una tabla con las probabilidades ya calculadas de que ganemos algo: Comprobemos si es que están bien hechas las cuentas. De consenso a los datos, la probabilidad de que ganemos un premio de 2 millones de euros, sería Por tanto, no nos engañan, es correcto (pueden comprobar el resto; todo es correcto). En seguida bien, las posibilidades de que nos toque, Tal como ven son bastante escasas. Por comparar, la probabilidad de que te caiga un rayo habiendo una tormenta es del orden de 1 de cada 3.000.000, que es del orden de 3x10^(–7), baja, Sin embargo 2.3 veces más probable. Por presunto se recalca en la publicidad que (¡¡hombre, no seas tan ambicioso!!) un billete de cada 3.17 es ganador y puede contener uno o más Galardones. Semeja ser que te comentan, de cada tres billetes que compres, uno tiene premio, De este modo que, cómpralos de tres en tres (en otros términos te gastas 30 euros, y Tal como mucho lo más probable es que recuperes 10 euros, que eso ya es ganar). No obstante el tema es que el triunfador bajo sospecha ganó el 1er millón de euros en un Solo el 4 de febrero, y otros dos millones en otro boleto del mismo tipo, el 24 de febrero. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra eso? En cálculo de probabilidades se definen acontencimientos independientes En el momento en que la probabilidad de que ocurra uno no está influida por la de que ocurra el otro. En pocas palabras, Una vez que no tienen ninguna relación entre sí. Por servirnos de un ejemplo, tirar al aire una divisa Y después un dado. O extraer una carta de una baraja, regresar a meterla en el mazo, barajar (sin hacer trampas), y retornar a quitar otra carta. En repuesto, quitar una carta, no devolverla al mazo, y entonces extraer otra, son acontencimientos dependientes, Porque la segunda carta no se saca en exactamente las mismas condiciones que la primera, al haber una carta menos. En el caso de los boletos de lotería, ganar o bien perder con el segundo billete es independiente de lo que haya acontecido en el primero, de modo que son hechos independientes. Y en la fecha los hechos son independientes, las probabilidades se multiplican. Por consiguiente, la probabilidad de ganar dos veces un premio es el producto de las probabilidades de ganar cada uno de ellos. Si fueran dos millones cada vez, sería del orden de 10^(–7) x 10^(–7), es decir 10^(–14), catorce ceros, una posibilidad entre 100 billones. ¿Hay motivos para examinar el caso Por un lado de la Justicia? Obviamente sí, si es que a ello añadimos Además que para comprar el 2do billete se tuvo que desplazar al norte del país. ¿Por qué allá? ¿Una corazonada? Seamos serios. El ir precisamente allá no es Desde a continuación un suceso independiente del previo. Y menos todavía, si anunciamos al banco que se fueran preparando para percibir un 3er ingreso por otro billete en fechas futuras (para ser tramposo, no Solo hay que ser osado, Sino bastante inteligente, y poco bocazas). Por presunto, necesitaríamos más datos y más cálculos para hacer una estimación más ajustada (la dada es una aproximación). Por poner un ejemplo, el número de herraduras que hay, cuántos Premios acumulados hay De exactamente la misma forma que máximo por boleto, entre otras cosas. En todo caso, una vez vendidos los 78 millones de boletos, la recaudación, a 10€ cada uno, sería de 780 millones de euros. La cuantía de los Premios asciende a 10·2.000.000 + 90·20.000 + 420·10.000 + 19.500·1.000 + 68.250·500 + 520.000·200 + 487.500·100 + 910.000·50 + 10·25 + 9.620.000·20 + 13.000.000·10 = 600.275.250 € Expresado de otro modo, la propaganda Además es correcta: son más de 600 millones de euros en Premios. En seguida bien, ¿cuánto recauda el Estado? La cuenta es sencilla: 780.000.000 – 600.275.250 = 179.724.750 Prácticamente 180 millones de euros. Sin poseer el dinero de los boletos premiados que están por ahí sin ser comprados, o bien se han extraviado, o bien han desaparecido, o el tiempo que tarden en reemplazar los boletos premiados, o el porcentaje de premio que se queda la hacienda pública. Y tengan en cuenta que al lado de este juego coexisten otros cuantos, de ganancias afines. En definitiva, lo cual afirmé para empezar en la radio: ningún juego de apuestas se proyecta para que usted o yo ganemos. El que Siempre y en toda circunstancia y en toda circunstancia y en toda circunstancia gana es el promotor (si no, no habría negocio). En efecto, alguien gana de vez en en el horario. Pero las probabilidades de que seamos nosotros son muy bajas. Y Finalmente, la reflexión obvia. ¿Necesitan los gobiernos freír a sus ciudadanos a impuestos? Obviamente, no. Basta colocar en marcha unos cuantos juegos de apuestas, y el ciudadano, con la cosa de «la ilusión», encima súper contento. ¿Será Asimismo por estas cosas por las que se plantean aislar a las matemáticas y diluirlas entre otras «de cultura general»? En fin, lo dejaremos, Ya que no quiero calentarme más. Concluyan ustedes. Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.