El comentario que hice la semana pasada en esta sección sobre los cuadrados latinos, su gran interés matemático y su aplicabilidad en la Decisión de determinado tipo de incidentes, ha motivado a Varios lectores preguntarme sobre el asunto, habida cuenta de que no imaginan más utilidad que pasatiempos De la misma forma que los sudokus o bien alguna de sus varias variantes, por servirnos de un ejemplo. Tratando de responderles voy a ampliar un tanto el breve comentario que realicé. Recordemos que un cuadrado latino es una disposición cuadrada de símbolos (pueden ser letras, números, colores, dibujos, cualquier cosa) en el que cada uno no se repite nunca en exactamente la misma fila o columna. No hay ninguna cirugía aritmética (a diferencia de los cuadrados mágicos), simplemente se disponen los objetos de la forma descrita. Vuelvo a mostrar La misma imagen del artículo anterior, a fin de que quede claro a qué nos referimos. Es un cuadrado latino de orden cuatro (hay cuatro filas y cuatro columnas) con números, y exactamente el mismo, con colores. Probablemente hayan oído o bien leído alguna vez (es un ejemplo que se cita habitualmente) el problema de los 36 oficiales descrito por Leonhard Euler a finales de 1700 (la fecha exacta no está clara: ciertos autores señalan 1779, otros 1782, en objetivo, el dato tampoco nos importa mucho), planteado al matemático, Conforme la leyenda, por la reina Catalina II (Catalina la Grande) Durante su estancia en Rusia: ¿es posible disponer con a treinta y seis oficiales de seis regimientos diferentes y de cada uno de los seis grados, en un Sólo cuadrado de 6x6 de manera que no coincidan dos oficiales del mismo rango o bien del mismo regimiento en ninguna fila y en ninguna columna? En realidad, el problema no era nuevo por el hecho de que en el libro póstumo ‘Recreation mathematiques et physiquese’ (1725), el matemático francés Jacques Ozanam plantea disponer con los ases, reyes, reinas y jacks de la baraja francesa en cuadrado 4x4 de modo que cada fila, cada columna y las dos columnas no repitan ni palo ni carta. Lo mismo que planteaba Antonio Pomares con su cuadrado de Foz en el precedente artículo (y Por eso comenté que esa parte no era novedosa Sino más bien que perfectamente famosa). Una de las dos soluciones posibles es la mostrada arriba con colores. Por cierto, ningún lector A mí me ha hecho llegar la otra posible configuración diferente, con lo cual acá se la pongo (recuerden que se entiende por configuración diferente aquella que se obtiene de otra ni por simetrías ni por giros). Quizá Euler conocería estas configuraciones y por lo tanto que con 16 oficiales el acertijo estaba resuelto. Pero fue incapaz de resolver el de 6 x 6, en otros términos, el de los 36 oficiales, Así que se ha puesto a pensar la ocasión Por lo general. Es sencilla ver que tampoco es posible resolver el caso para un cuadrado 2 x 2, de modo que conjeturó que no existe solución en el horario el orden es un número par n ≡ 2 (mod 4) (Recordemos lo cual significa ‘ser congruente’: n ≡ 2 (mod 4), quiere decir que n – 2 es un múltiplo de 4, en otros términos n no podía ser 2, 6, 10, 14, 16, 22, …). En resumen, que la predisposición de n^2 oficiales con las condiciones descritas Sólo era posible en el horario n fuese impar o múltiplo de 4. Pero lo cual tienen las conjeturas, no habiendo demostración alguna más que un par de casos particulares, es que pueden ser falsas. Por fortuna Euler llevaba ya tiempo criando malvas en el horario en 1959 los matemáticos indios Raj Chandra Bose y Sharadchandra Shankar Shrikhande (Al parecido que curiosidad, éste 2do murió el pasado año, ¡¡con 102 años!!) descubrieron una solución para n = 22. Unos años a continuación, Ernest Tilden Parker Encontró otro contraejemplo a la conjetura de Euler para n = 10 (Aunque éste hizo trampa por el hecho de que lo Halló Mediante una máquina UNIVAC 1206: es uno de los primeros problemas combinatorios resueltos por una computadora). Ese contraejemplo lo podéis ver en la imagen adjunta. Está formado por dos cuadrados latinos en realidad: si es que nos fijamos en los dígitos marcados en color rojo, cada fila y columna tiene todos, del 0 al 9, sin que se repita ninguno. Lo mismo sucede con los números en negro. Más tarde, los tres matemáticos trabajando ya juntos, demostraron que la solución al problema es posible para todo n mayor o bien igual que 10. En la portada de ‘Scientific American’ de noviembre de 1959, se reprodujo una pintura al óleo de una de las dibujantes de la gaceta, Emi Kasai, en el que asignó un color a cada dígito del cuadrado 10 x 10 de la imagen previa (por tanto 10 colores diversos). En cada cuadrado, inscribe un cuadradito más pequeño. El color de éste corresponde a los dígitos en negro, y los rojos a los del espacio que queda hasta rellenar cada cuadrado completamente. Obsérvese que el 00 se encuentra en la esquina superior derecha, expresado de otro modo, está girado respecto al cuadrado numérico. En el interior de la gaceta, Martin Gardner, dedicó al tema su columna mensual. Del mismo modo que ven, los mayores genios de la humanidad son precisamente eso, humanos, y También se equivocan En ocasiones (por presunto mucho menos que los charlatanes que nos rodean, Pero a esos les importa un bledo, evidentemente, el errar). Por fortuna no todo acudieron malas noticias para el espíritu de Euler en caso de que tal ente exista, Puesto que en 1901, el francés Gaston Tarry demostró que colocar los 36 oficiales (expresado de otro modo la ocasión n = 6) era imposible, no existía solución. Concluyendo, los únicos cuadrados latinos imposibles de construir son los casos de orden 2 y 6. Para el resto de los infinitos números, existe solución. De modo que si es que desean epatar a alguna persona (o solamente gastarle una broma), ya saben lo cual tienen que hacer: retarle a que construya un sudoku 6 x 6 con los seis primeros dígitos, a ver si es capaz. Cuadrados greco-latinos Volviendo a los acertijos planteados (el de los oficiales y el de las cartas de la baraja), en Ambos tenemos que compaginar dos condiciones. En uno el ejército y el rango, y en el otro, la carta y el palo al que pertenece. Podemos tratar de solucionar la ocación con una única condición, Y luego, por separado, con la otra, y ver si es que su unión, cuadra con que se cumplan ambas condiciones a la vez. Por poner un ejemplo, con las cartas, la 1era condición (que no se repitan los valores de las cartas en filas, columnas y diagonales principales), podemos dar esta solución (basta con que, en el cuadrado de la 1era imagen de arriba, la de los números, asignemos por servirnos de un ejemplo el 1 al As, el 2 al rey, el 3 al Jack, y el 4 a la reina. Tenemos De este modo el siguiente cuadrado: Buscamos en seguida otro cuadrado que resuelva la ocación de los palos. Por servirnos de un ejemplo, en el primero de los colores que pusimos arriba, identificando color rojo con picas, color azul con corazones, color amarillo con diamantes y color verde con tréboles, y superponiendo Ambos cuadrados, obtenemos la solución buscada con sencillez, Asimismo que vemos en la imagen. A estos cuadrados que combinan dos cuadrados latinos y con cada condición respetan el hecho de que no se repita dicha condición en filas, columnas ni diagonales principales se le llama cuadrado greco-latino (El nombre viene de que uno de ellos puede escribirse con letras latinas, y el 2do con letras griegas). En el instante es posible esta combinación se dice que esos dos cuadrados son ortogonales. Está demostrado que para orden n, existen Del mismo modo que máximo n – 1 cuadrados ortogonales. De esta manera por el hecho de que, existen dos cuadrados ortogonales de mandato 3, tres de mandato 4, y En este sentido sucesivamente (salvo para n = 6, recuerden, que para ese mandato no existe ningún cuadrado greco-latino). El grupo de todos los cuadrados ortogonales para cada n, se le llama familia completa. Ya que bien, hasta n = 9 se conocen sus familias completas, Sin embargo Desde n = 10 no. Fíjense que el cuadrado greco-latino de mandato 10 que mostramos anteriormente, está formado por la unión de dos sudokus de los cuales vienen en los periódicos (Por un lado, el formado por los dígitos en color rojo, y por otro, los marcados en negro). Esos dos son ortogonales Puesto que se combinan perfectamente (la condición de las diagonales no la verifican). La familia completa estará formada por un total de 9 cuadrados latinos ortogonales distintos. ¿Saben cuántos posibles sudokus diferentes se pueden formar? Se lo digo: 6.670.903.752.021.072.936.960 O sea, del mandato de 6.67 x 10^21. En tanto que bien, se sabe que 9 de ellos Así tal y como máximo son ortogonales, No obstante aún no se han encontrado. ¿Se animan a buscarlos? Por cierto, para los que piensen que han hecho muchos sudokus, y a lo mejor ya los han hecho todos. Si resolvieran un sudoku por minuto las veinticuatro horas del jornada (todos distintos), y se dedicaran a ello los cercanos cien años sin parar, no resolverían ni siquiera un 1% del total de los posibles. De modo que, tranquilos, que tiene pasatiempo para rato. Cuadrados mágicos A partir de cuadrados greco-latinos Existen diversos algoritmos para alcanzar cuadrados mágicos (recuerden: sumas de cada fila, columna o bien diagonales principales igual) A partir de cuadrados greco-latinos (Euler utilizaba procedimientos de este tipo). Explicamos uno de ellos. Pasemos a valores numéricos el cuadrado greco-latino de la última imagen de la baraja francesa (recordemos que son dos cuadrados latinos ortogonales), siendo A el 0, K el 1, Q el 3 y J el 2. Del 2do cuadrado latino (el de los palos), las picas el 0, los corazones el 1, los diamantes el 2 y los tréboles el 3. Con esas identificaciones se tiene La siguiente estructura: Si es que cada uno de esos pares es (x, y), vamos a asignar a cada par el número que se obtiene al hacer la intervención n x + y donde n es el orden del cuadrado mágico, en este caso, 4. Se obtiene entonces el cuadrado: ¡¡Oh, magia, magia!! Todas las filas, columnas y la diagonal suman lo mismo. ¿Cómo es posible? (Espero que haya alguna persona que A mí me mande por qué sucede esto, sin aludir a la magia). ¿Qué quieren que sean los números del 1 al 16, y no del 0 al 15? Sin problema: sumen una unidad a todos los números, y lo tienen. Aplicaciones Terminemos indicando alguna aplicación más mundana de los cuadrados latinos y greco-latinos, más allí de los pasatiempos, los acertijos o poseer cuántos puede haber (ejercicios de combinatoria), Porque seguro que alguno de ustedes (o muchos) están pensando que los matemáticos nos lo pasamos excelente con este tipo de ‘empanadas mentales’. Pues miren no; recuerden siempre: un matemático nunca va a perder el tiempo en pensar en algo que no sirva para nada, por el hecho de que para eso, es mejor no hacer nada (máxima que A mí me acabo de inventar, No obstante que cuadra perfectamente conmigo, y con todos y cada uno de los que conozco). Una aplicación muy famosa que les indico por si la leen por ahí, se dirigió la de averiguar la eficacia de Múltiples fertilizantes en el desempeño de las cosechas para que la calidad de la tierra no sea un factor determinante e indeseable. Al estadístico y biólogo británico Ronald Aylmer Fisher se le planteó dicha cuestión en los años treinta del siglo pasado (si es que tienen un rato, lean algo acerca de este científico pues su contribución a la biología y a la medicina fue Sencillamente insólito; y utilizando modelos matemáticos y estadísticos, por cierto). Imaginemos que tenemos n fertilizantes distintos, y Queremos contrastar su eficacia. Evidentemente es inútil utilizar una tierra distinto para cada fertilizante, pues De esta manera no sabremos perfectamente la incidencia de cada uno, y tampoco podemos esperar años para probar un fertilizante por año en cada tipo de tierra. Lo cual hizo Fisher fue dividir cada tierra en pequeñas parcelas (un cuadrado latino n x n), de modo que en cada fila y columna aplicó un fertilizante diferente, eliminando De esta forma el factor de la calidad de la tierra. Si de repente descubrimos que puede haber otro factor distinto a la calidad de la tierra que puede influir en la cosecha, por servirnos de un ejemplo, el momento del jornada en que se aplica, entonces consideramos un cuadrado greco-latino para introducir la segunda condición (o bien sea, buscar un cuadrado ortogonal al ya utilizado). Así conoceremos cuál es el mejor tratamiento del terreno y la región horaria en el que esto sucede. Detección, control y corrección de fallos en señales digitales. A lo largo de cualquier transmisión de información (audio, data, imágenes) pueden aparecer interferencias, cortes de comunicación, equivocaciones del que transmite por el hecho de que se ha despistado o tiene las gafas mal graduadas, en definitivo, alteraciones del mensaje original (lo cual en términos técnicos se denomina ‘ruido’). Se han desarrollado muchos procedimientos y algoritmos que tratan de paliar estas anomalías (hay toda una rama en las telecomunicaciones que se dedica a ello, la teoría de la señal). Para mejorar las posibilidades de una buena transmisión, se acostumbran a incluir al mensaje caracteres redundantes, de manera que el mensaje original pueda reconstruirse A pesar de que haya algún fallo (tampoco deben ser excesivos, pues si es que no, no es posible). Esos códigos se llaman códigos correctores. Ciertos de esos procedimientos eficientes de corrección de equivocaciones se fundamentan en que existan cuadrados latinos ortogonales. Por poner un ejemplo, el código de detección de errores (4, q^2, 3) (para explicar bien que designa esta terna necesitaríamos otro artículo entero; a grandes rasgos quédense con que transmitimos la data en cadenas de 4 dígitos, que contienen q^2 palabras en clave, y el tercero, la distancia, mide el número mínimo de posiciones en las que dos códigos diversos difieren). Por el hecho de que bien, existe un resultado que afirma que un código (4, q^2, 3) existe si, y Solo si, existen un par de cuadrados latinos ortogonales de orden q. Parece complicado, Pero créanme, no lo es tanto. Sin embargo describir con cierto detalle un ejemplo, excede El propósito de estos artículos (no por su complejidad, Sino más bien por su desenvolvimiento). No obstante el lector interesado puede ubicar esa información sin dificultad. Dentro de las propias matemáticas (teóricas), por presunto hay varias aplicaciones. Por servirnos de un ejemplo, que exista una familia completa de cuadrados latinos ortogonales de mandato n, es equivalente a fabricar un plano proyectivo finito de mandato n. Finalmente, Al idéntico que curiosidad, el original escritor francés Georges Perec concibió su novela ‘La vie mode d’emploi’ (1978) (en español se editó en 1988 De La misma manera que ‘La vida instrucciones de uso’) Desde un cuadrado greco-latino de mandato 10. Alfonso Jesús Población Sáez es maestro de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.