«No llores, Alfred. Necesito todo mi valor para morir a los veinte años». Quien De este modo hablaba, una noche de mayo de 1832, se disponía a conquistar el Olimpo de las mitologías De La misma manera que el pionero de una teoría llamada a revolucionar las matemáticas. Con ella, Evariste Galois había resuelto un problema que traía en vilo a la comunidad matemática Desde hacía dos siglos, Sin embargo el alcance de su enfoque excedería con mucho El propósito original. Nuestra historia es, matemáticamente, de una belleza insólita, No obstante en todo lo demás Se trata de uno de los episodios más amargos de la historia de la ciencia. En efecto, una noche Antes de dirigir esas palabras a su hermano, nuestro protagonista se preparaba para morir en un Sólo duelo a pistola. Tres cartas por testamento: una a sus correligionarios republicanos, otra a su amigo Auguste Chevalier, y otra a sus colegas de siglos futuros. Semblanza trágica de un genio Evariste Galois fue un hijo de su tiempo, el de los estertores de un Antiguo Régimen reacio a sucumbir el testigo a las fuerzas de la Ilustración. Y en el ojo del huracán, una turbamulta de desheredados, sin más credo que la ira y la pólvora. Nuestro héroe había nacido en 1811 en Bourg-La-Reine, niña ciudad a las afueras de París, en el seno de una familia de niña y burguesa con simpatías napoleónicas. Educado por su madre hasta los doce años, quien lo formó en latín, griego y cultura clásica, no está documentado que fuese un niño prodigio en matemáticas ni en ninguna otra materia. En medio sus dos primeros años en el Real Liceo Louis-le-Grand, sus resultados estuvieron lejos de ser brillantes, e inclusive repitió tercer curso. Lo que sí se había ganado era una notoria fama de Estudiante heterodoxo y alborotador. Se dirigió a los quince años, Una vez que Evariste arrancó a perfilarse Del mismo modo que lo que estaba llamado a ser llegando a dominar las matemáticas de secundaria y devorando con avidez la geometría de Legendre y el álgebra de Lagrange. Allá se topó con un problema que se remontaba a la antigüedad y que estaba entonces en la frontera de la investigación: el estudio de las condiciones en que una ecuación algebraica, esto es, definida por medio de un polinomio, se puede resolver usando Solo sumas, restas, productos, cocientes y raíces de sus coeficientes. Trató entrar en el colegio Politécnica, orgulloso producto de la Revolución Francesa, meca científica europea y una de las primordiales cunas del jacobinismo. Aunque, suspendió dos veces el examen de admisión por sus formas rebeldes. Pocos días Ya antes del 2do intento su padre se quitaba la vida. En este sentido, tuvo que conformarse con la menos prestigiosa Escuela Preparatoria (futura Escuela Normal Superior), de la que sería expulsado al poco de estallar la revolución de 1830, que terminaría con la abdicación de Carlos X y la subida al trono de Luis Felipe de Orleáns. Se dirigió entonces, a los diecinueve años, En el momento en que Galois completó su monumental ‘Memoria acerca de la resolubilidad de las ecuaciones por radicales’, traducida al inglés en el apéndice del libro de H.M. Edwards ‘Galois Theory’. En un Sólo primer envío a la Academia de Ciencias de París, Cauchy rechazará la memoria por valorar (y es cierto) que tenía ciertos puntos comunes con el trabajo de otro adolescente excelente y Asimismo víctima de muerte tan dramática Tal como prematura: el noruego Niels Henrik Abel, de quien Galois, Según él mismo, «no conocía ni su existencia». 2do intento. Esta vez, Cauchy sí lo remitirá para análisis, Sin embargo Fourier, encargado de su publicación, fallece ese mismo año, y se pierde el manuscrito, siendo el trabajo de Abel el primero en ver la luz. Galois estalla en cólera y acusa a la Academia de una campaña de descrédito en contra de él. A tan lamentable episodio siguen tres publicaciones de los fundamentos de su teoría en el Boletín de las Ciencias Matemáticas, Astronómicas, Físicas y Químicas. En 1831 nos encontramos a un Galois que ha pisado la cárcel y sin apoyos fuese del círculo revolucionario. Tercer envío a la Academia, En esa ocasión por consejo de Poisson. Y tercer fracaso: irónicamente viajó el mismo Poisson quien se lo rechazó, creemos que, con formas muy urbanas y educadas, por una fácil razón: que él mismo no era capaz de entender ni una línea. No le culpamos. Galois había recibido la noticia cumpliendo condena por un delito de sedición. Su memoria sería publicada a título póstumo en 1843, Debido a Joseph Liouville. Ecuaciones algebraicas: de la antigüedad al siglo XIX En el ultimo año de EGB (La jornada de hoy 2do de ESO) se enseñaba que la ecuación de 2do grado (1) admite Del mismo modo que soluciones Este resultado se dirigió descrito en el Siglo IX por el persa Al-Juarizmi y se basa en el método de terminar cuadrados, por el que la ecuación (1) se transforma en una ecuación directa: Siete siglos más tarde, Hierolamo Cardano y Nicolo Fontana, apodado Tartaglia Debido a su tartamudez, abordaron la ecuación de 3er grado: (2) cuyas soluciones, demostraron, son: En esta expresión, la raíz cúbica se escoge arbitrariamente (nótese que dado un número real o bien complejo no nulo Siempre y en todo momento y en todo momento existen tres raíces cúbicas distintas), y se escoge de tal manera que p=–3uv. Por servirnos de un ejemplo, para la ecuación se tiene Con lo que tomando la raíz cúbica real se obtiene Las otras soluciones se obtienen de tomar las otras dos raíces cúbicas de El Cuarto grado Parece que fue Ludovico Ferrari, Estudiante de Cardano, el primero en resolver la cuártica: (3) El método de Ferrari se basa en reducir esta fórmula a dos cúbicas, cuya solución estaba Aún en fase de «desarrollo», por lo que el resultado de Ferrari se publicó junto con la solución de la cúbica dada por su maestro en su tratado ‘Ars Magna’ (1545). Hay que hacer apreciar que Cardano le había jurado a Tartaglia no publicar este resultado, que su autor tenía previsto sumar en un Sólo trabajo sobre la materia que estaba preparando. Refrene el lector su indignación: De la misma forma Tartaglia había publicado, haciendo pasar por suya, una traducción de Arquímedes que no era Sino más bien más bien una leve alteración de otra debida a Moerbeke (ver ‘A history of Mathematics’, C.B. Boyer, U.C. Merzbach. Pág. 255). Volviendo al álgebra, el paso definitivo en la solución de la cuártica lo dio Lagrange, Mediante el uso de la resolvente, que resumimos en seguida. Dado un polinomio A estas expresiones se les conoce De esta forma tal como fórmulas de Cardano-Vieta y observamos que, si permutamos las raíces en cualquier mandato, dichas expresiones se quedan invariantes. Son lo cual se llama expresiones simétricas. En este sentido, el lector avispado podría pensar que para resolver la ecuación (3) basta despejar, por ejemplo, la última raíz en la última fórmula de Cardano-Vieta, sustituir en la penúltima, posteriormente en la antepenúltima y De este modo hasta la primera. Este enfoque, Sin embargo, está condenado al fracaso, toda vez que al permanente del proceso llegamos a una expresión de grado 4!=24 (el número de permutaciones de las 4 raíces). La idea de Lagrange es la siguiente: Consideremos los 24 números: (6) Donde los subíndices (i, j, k, l) se mueven entre 1 y 4 y donde la letra i que aparece Al igual que coeficiente es la unidad imaginaria. La resolvente de Lagrange es el polinomio (7) Donde la Pi mayúscula denota el producto. Aunque este polinomio tiene gado 24, usando las fórmulas de Cardano Vieta se puede expresar De este modo tal y como producto de dos polinomios de grado 3, Sin embargo evaluados en X4. Resolviendo estos últimos, encontramos los 24 valores u_i,j,k,l por lo cual resolviendo (6) obtenemos las raíces buscadas. Acto seguido de este hito, viajó natural encararse con el grado 5. El primero en conjeturar que no hay una fórmula general análoga se dirigió Paolo Ruffini en 1799 y el primero en demostrarlo fue Abel. Su enfoque radica en la estructura del grupo de permutaciones de 5 elementos, radicalmente distinto a los de 4, 3 y 2 elementos. El trabajo de Galois Familiarizado Al afín que estaba con la obra de Lagrange, Galois había llegado al mismo resultado que Abel, razón por la que Cauchy rechazó el manuscrito. Pero este contenía mucho más. Veámoslo. Pero no existe una fórmula general que exprese las soluciones de una ecuación de grado 5 o bien superior en concepto de los coeficientes usando Solo sumas, productos y radicales, eso no es óbice para que Ciertas ecuaciones particulares de grado superior sí se puedan resolver por radicales. Pues bien, la memoria de Galois contiene También la condición requerida y suficiente para que, dada una ecuación especial, podamos decidir si esta es resoluble o no por radicales. Damos ahora Algunas pinceladas acerca de su demuestra. Arranca la memoria con varias definiciones. En concreto, dada una ecuación algebraica f(x)=0 de grado n, cuyos coeficientes pueden ser números o letras (lo cual cubre Asimismo la ocación de Abel), explica Galois lo que entiende por función racional de los coeficientes, a saber, un elemento del cuerpo K donde viven dichos coeficientes. Supondremos que K será el cuerpo de números racionales. En seguida, dado un radical b, raíz n-ésima de un número a, se considera el cuerpo K(b) formado por todos y cada uno de los cocientes de expresiones polinomiales en el radical b y con coeficientes en K. A este cuerpo se le denomina ampliación de K por adjunción del radical b. Llamemos F al cuerpo obtenido adjuntando a K las soluciones de f(x)=0. Si es que Después de un número finito de adjunciones el cuerpo definitivo llega a contener todas y cada una las raíces de f decimos que f es resoluble por radicales. A partir de acá desarrolla Galois su enfoque, cuya idea clave es la noción de grupo: un grupo es un conjunto sobre el que se ha definido una intervención asociativa, con elemento neutro y tal que cada elemento posee un inverso. Galois Solo considera el grupo de todas y cada una permutaciones de n elementos con la intervención de composición (la composición de dos funciones f y g es la función que a todo x le asocia f(g(x))). Concretamente, Galois asocia a la ecuación f el conjunto S(f) tal que una función racional de las raíces lo es También de los coeficientes de f si es que y Solo si queda invariante por S(f). Posteriormente, prueba Galois que si es que p es primo, al adjuntar a K un radical b de grado p y las raíces p-ésimas de la unidad, También se adjuntan automáticamente las otras raíces de su ecuación definidora. Nos referimos a esta propiedad diciendo que el cuerpo K(b) es extensión normal de K. En este sentido, si es que f es resoluble por radicales existe una sucesión de extensiones normales A partir de K hasta F de tal modo que cada eslabón tiene grado primo. A esta propiedad nos referimos diciendo que S(f) es un grupo resoluble y es la idea central de su trabajo. Para mayor dato remitimos al lector al anexo III del opúsculo «Gauss y el álgebra de su tiempo», de Ignacio Sols, en la serie de Historia de la Matemática en el Siglo XIX, de Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Galois en las estrellas Hemos dicho que la álbum de Galois trasciende con mucho la teoría de ecuaciones algebraicas y De esta manera es: en 1er sector, su trabajo establece una correspondencia entre las extensiones algebraicas de K y algunos de los subgrupos de permutaciones. Es más, En el momento en que nos restringimos a las extensiones normales Antes referidas, la correspondencia es biyectiva y puede verse Del mismo modo que un diccionario entre el conjunto de dichas extensiones y el conjunto de los subgrupos del grupo de Galois. Es quizá el primer ejemplo de una equivalencia entre categorías matemáticas, que tan felices consecuencias había de disponer. En segundo sitio, Aunque Galois Sólo consideró Conjuntos de permutaciones, la idea general de grupo es Hoy omnipresente en matemáticas y hasta cierto punto en física teórica. Asimismo la teoría algebraica de números y con ella la demuestra de Taylor y Wiles (entre goles otros nombres) del ultimo teorema de Fermat serían impensables sin la aportación de Galois. En cuanto a aplicaciones «del mundo real» distintos sistemas de comunicaciones inalámbricas tienen en su base la teoría de Galois. Nos referimos, por ejemplo, al código de Alamouti, o bien a los códigos Golden y Golden+ incluidos en el standard IEEE Wimax 802.16e. La Unión Astronómica Internacional bautizó un cráter lunar con La denominación del excelente francés. Descanse al objetivo en paz en el silencio de los astros y en la eternidad de su legado. Iván Blanco Chacón es profesor e estudioso en la Universidad de Alcalá de Henares. El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).