Entre las muchas citas que uno escucha acerca de prácticamente cualquier asunto (Generalmente con el suficiente ingenio De esta forma tal y como para llamar la atención y alguna parte de verdad que redondeé la frase y nos haga reflexionar o, al menos, a fin de que esbocemos una sonrisa) en alguna situación he leído u oído que las matemáticas es la disciplina en la que las cosas o bien son útiles o son divertidas. La construcción disyuntiva de la sentencia implica que no pueden darnos algo útil y a la vez divertido (algo que no comparto, Sin embargo de esto podemos hablar otro día). La jornada de hoy voy a contarles algo entretenido, más que divertido, y por en seguida, totalmente inútil (de modo que los aficionados al estoparaquesirve, vayan pensando otra pregunta más original): los números de Friedman. Se han bautizado con ese nombre a aquellos números enteros que puedan expresarse con los dígitos con los que están formados utilizando las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) al lado de las potencias y los paréntesis. Por ejemplo: Si es que nos fijamos un poco, los dígitos aparecen en el segundo miembro en exactamente el mismo orden que su expresión decimal. No es necesario a fin de que sea un número de Friedman. En otras palabras, De la misma forma son números de Friedman: Estaremos No obstante de pacto en que quedan mejor en el mismo mandato. Por ello se les ha añadido en ese caso el calificativo de simpáticos: números de Friedman simpáticos . También he visto el adjetivo agradables. No sé muy bien a quien se tiene que esa expresión (en el original en inglés se denominan, nice Friedman numbers; probablemente yo sea un tanto «soso» Pero considero, en Los dos idiomas, que una expresión más acorde sería la de números de Friedman propios, Sin embargo, en fin, De este modo tal como se suele decir, doctores tiene la Santa Madre Iglesia). ¿Lo hemos entendido? ¿Seguro? Obsérvese en Los dos ejemplos anteriores que pueden utilizarse números de más de una cifra, con tal de que sus dígitos sean del número inicial. Así para el 121 podemos emplear el 11, o bien para el 1022 la potencia 10. Lo que no se puede es colocar ceros delante del número, pues entonces cualquier número sería de Friedman. El 24, por poner un ejemplo, podríamos ponerlo Al igual que 024 = 20 + 4. Entonces podríamos hacer esa jugarreta con cualquier número Porque bastaría con incorporar tantos ceros delante Al parecido que nos hicieran falta para descomponerlo en suma: Y Así sucesivamente, de modo que no vale colocar ceros por delante. Bien, esto aparentemente no es más que un pasatiempo, con el que «entretener» a los Pupilos para que practiquen un tanto el cálculo y las operaciones (¿o posiblemente no?). Sin embargo Al similar que los matemáticos no podemos abandonar las cosas en algo tan «trivial», podemos empezar a hacernos preguntas. Por poner un ejemplo, ¿existen infinitos números de Friedman, o Sólo son un capricho curioso de unos pocos números? ¿Cómo podemos demostrar que hay, o bien no, infinitos? En realidad, Aunque lo parezca, resolver esa cuestión no es demasiado complicado, …, si han entendido bien el interrogante, por el hecho de que en matemáticas muy frecuentemente nos obcecamos conque creemos entender y no por lo que realmente es. Experimentar que existen infinitos números de Friedman no quiere decir «encontrarlos todos» (entre otras cosas pues si son realmente infinitos, nunca terminaríamos, salvo que pudiéramos describirlos con una fórmula). Nos bastará con encontrar una expresión que agrupe a infinitos de ellos, Aunque no sean todos. Y esa expresión existe y alguien la ha encontrado y nos la ha legado: para todo n > 0. Está claro que el número n es tan grande Al idéntico que queramos (puede tomar infinitos valores, por consiguiente), y que 161051 es idéntico que 115. En el 2do miembro se han utilizado los tres unos, el seis, el cinco, Sin embargo, ¿por qué esa suma de ceros? Si n = 1, el número es: Si cuentan el número de ceros que aparecen (para eso les he incluido una separación cada tres dígitos), son 18 x 3 + 1, o bien sea 55. En la expresión del segundo miembro, recopilemos, tenemos los dígitos n, los tres unos, el seis, el cinco y cuatro ceros. Están todos, salvo 51 ceros más, que añadimos en forma de suma. Para valores más grandes de n, puede que aparezcan más ceros, No obstante no importa por el hecho de que podemos incorporar todos los cuales nos hicieran falta con ese truco tan elemental. Vale, hay por el hecho de que infinitos números de Friedman, …, en base diez. ¿Ocurrirá lo mismo en otras bases? Por servirnos de un ejemplo, en base dos, ya saben, Solo con ceros y unos. Veamos el próximo número: Recuerden que estamos en base dos, y las operaciones debemos hacerlas Asimismo en binario, no en base decimal. De esta manera, en el 2do miembro, 1 + 1, ¿cuánto es? No, 2 no, pues Solo tenemos ceros y unos. Alguien dirá: Así tal como 2 es idéntico a 0 en base dos, En tanto que luego es 0. Tampoco. Es 10, Porque 2 en base binaria se escribe 10 (ya saben, 1 x 2 + 0 x 2^0). Vamos con el exponente, 111. En base dos es 111; en base decimal es: En otros términos, el número 7. Las posiciones de unidades, decenas, centenas, etc., van multiplicadas por las sucesivas potencias de 2. Seguro que tienen esto un poco olvidado, ¿verdad? Esto de la base binaria es de qué manera los ordenadores interpretan todo. No Me digan que una ignorante máquina se maneja mejor que ustedes, pues no tendría que ser En este sentido. A las máquinas, en lo único que tenemos que permitirles que nos superen es en velocidad (que para eso están), No obstante en nada más. En fin, sigamos. Hagamos La próxima operación: Piensen en modo decimal, Pero después escríbanlo en binario; es lo mejor para no liarse. Al igual que 111 en binario es el 7 en decimal, estamos elevando 10 a la séptima potencia, por lo tanto, el resultado es el uno y siete ceros. Continuando con la operación que nos traemos, ¿y cuánto es 10000000 – 1? Pensemos, De exactamente la misma manera que les he expresado, en el número en modo decimal. Es decir que es el número 128 en base decimal. Y 128 – 1 = 127. ¿Y de qué forma es 127 en base binaria? Recordemos Asimismo cómo se obtenía el número en binario A partir de la notación decimal. En este caso tenemos que dividir por 2: El número en base dos está formado por todos los restos que se obtienen (figuran en color rojo) junto al último cociente, empezando por éste último y siguiendo el sentido de la flecha azul). Por ende 127 en binario es 1111111. Y Por eso la intervención del segundo miembro es idéntica en binario a la del primer miembro, es decir: Si es que repasan El estreno de esta reseña, resulta que, en decimal: O sea que, 127 es un número de Friedman simpático, ¡¡¡tanto en base decimal, Del mismo modo que en base dos!!! De la misma forma, 127 es el 1er número de Friedman que es primo (todos los precedentes son compuestos). Seguramente a estas alturas, ustedes mismos se estén haciendo ya otras preguntas: ¿existen infinitos números de Friedman primos? ¿Existen infinitos números de Friedman en base dos? ¿Y en otras bases? En tanto que sin querer abrumarles más de la cuenta, se pueden hacer otras muchas preguntas: ¿existen sucesiones de enteros consecutivos de Friedman? ¿Cuál es la más larga? Si es que elegimos un número al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un número de Friedman? ¿Hay números de Friedman sin ceros en su expresión? ¿Y que tengan los diez dígitos una única vez? ¿Y con todos los dígitos iguales? ¿Conocen los números vampiros, variedad particular de los números de Friedman? Perfectamente se puede escribir un libro y bastante grueso hablando Sólo de este tipo de números (igual que con cualquier otro asunto matemático). La persona que ha dado nombre a estos números, es un maestro jubilado de matemáticas de la Universidad Stetson de Florida (EE. UU.), Erich Friedman, al que le apasionan los juegos matemáticos (acerca de todo los cuales pueden construirse en madera; no sé si saben que a esta comunicado de la matemática recreativa se la denomina metagrobología; les hablaré de ello en otro artículo, que es muy divertido). El propio Friedman ha propuesto De la misma forma los llamados números Anti-Friedman Al idéntico que aquellos números que no tienen dígitos repetidos y pueden formarse usando todos y cada uno de los dígitos no presentes en el número original, pudiendo usarse exactamente las mismas operaciones de los números de Friedman, es decir, suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y concatenación. Por servirnos de un ejemplo, 10752 sería un número Anti-Friedman, pues puede expresarse con todos los dígitos que no figuran en él: De éstos, de momento, se sabe menos. El más grande encontrado hasta entonces es: Si los Romanos levantaran la cabeza Friedman Además se planteó la idea de si es que utilizando notación de números romanos, podrían componerse números de Friedman (De este modo tal como ven no Solo los Romanos están locos que diría Obélix; por cierto, no A mí me resisto a contarles, a lo mejor ya lo saben que, esa oración, en italiano es Sono Pazzi Questi Romani, cuyas iniciales componen SPQR, que ya sabrán que es. Goscinny jamás permitirá de sorprendernos). La sorpresa es que todos y cada uno de los números romanos con más de una letra son números de Friedman. Y para ello basta con sumas, ocasionalmente alguna resta, y el re-orden adecuado. ¿Quieren probar? Sin embargo todos ellos son demasiado triviales (a la altura precisamente de los Romanos ideados por Goscinny). Por eso los hinchas a estos pasatiempos, buscan expresiones lo más complejas posibles, con productos, divisiones, exponenciaciones, mejor que simples sumas y restas. Por servirnos de un ejemplo, el precedente XVIII prefieren describirlo como: Ninguno de los propuestos es número romano de Friedman simpático. ¿No los hay? En tanto que sí, si es que los hay. A ver si encuentran alguno. Les permito Del mismo modo que curiosidad, para acabar por Hoy, el único número de Friedman simpático que contiene todos los dígitos, salvo el cero, que se conoce. (Anímense a ver si encuentran otro). Alfonso Jesús Población Sáez es maestro de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.