Si es que bien nuestro recuerdo escolar de la Combinatoria puede no ser muy feliz (aquello de las variaciones, permutaciones y combinaciones), hay que reconocer que proporciona unas herramientas muy útiles, tanto en nuestra vida cotidiana De exactamente la misma manera que en asuntos de mayor calado. Prácticamente todo el mundo (que en la actualidad no se dedique a nada relacionado con las matemáticas) te soltará algo del tipo: «Nunca lo entendí», «No fui capaz de diferenciar en el horario eran variaciones o bien combinaciones», «Era muy complicado»… Pero, a toro pasado, seamos honestos: ¿Por qué no lo entendíamos? ¿Por qué no nos gustaba? La contestación a la segunda pregunta es sencilla: no nos gustaba disponer que esforzarnos, pensar (probablemente a continuación tampoco, ¿a quién le gusta?). La persona tiende a lo cómodo,a lo sencilla, y se acostumbra a ello velozmente. Somos vagos por naturaleza. Todos. Y probablemente el que esto escribe, de los que más. Preferíamos resolver una ecuación ya planteada a encontrarla Desde un «problema de enunciado», igual que preferíamos memorizar unos datos geográficos o bien históricos y soltarlos De exactamente la misma manera que papagayos en un papel, a averiguar el tipo de clima Según unos data, o comparar razonadamente el gobierno de Carlos V respecto al de Felipe II, pongamos por caso. ¿Y si probáramos a impartir todas y cada una las asignaturas de un modo práctico, con algo más que el uso de la memorieta y a otra cosa? Ya, ya sé lo cual piensan: aumentaría el fracaso escolar. Y a lo mejor También el número de ciudadanos críticos, lo que a prácticamente absolutamente nadie interesa. Dejémoslo ahí. Afortunadamente, quien lee estas líneas ya no se debe analizar, y Lo hace por pura curiosidad, placer o bien deseos de rememorar, aprender o bien simplemente leer algo de esas matemáticas que todos ahora dicen que son tan útiles (¡¡a ver si los convenzo!!). Al igual que idea general, quédense con que las variaciones, permutaciones y combinaciones son herramientas que nos permiten tener el número de posibilidades que podemos encontrarnos en el horario trabajamos con una volumen concreta y finita de objetos. Sin embargo para contarlas de un modo inteligente, sin poseer que perder el tiempo. Por poner un ejemplo, si es que quiero saber cuántas banderas de cuatro colores puedo componer con siete colores sin que se repita ninguno, o repitiendo dos Del mismo modo que máximo, perder el tiempo sería ponerse a confeccionar todas y cada una y entonces poseer cuántas hay. a su vez, Así Siempre y en todo momento tendremos la duda razonable de ¿habré repetido alguna? o ¿estarán todas y cada una? Y encima con lo vagos que dijimos que éramos al principio, De La misma manera que para fiarse. Evidentemente disponer con la ayuda de estas herramientas es mucho más ventajoso cuanto más grande sea el número que vamos a lograr o los objetos con los que trabajamos. E nos permite comparar magnitudes o bien fenómenos que nos pueden llegar a asombrar, En este sentido tal y como la que les voy a proponer, que es el meollo permanente de toda esta larga introducción que les estoy haciendo. Número de Avogadro Aparquemos por un momento la combinatoria. Vamos a intentar entender de qué forma han calculado otros científicos el número de átomos que hay sobre la Tierra, que De exactamente la misma manera que todo el planeta supondrá, son muchos, una volumen gran, Sin embargo una cantidad finita. Veamos de qué manera hacer una estimación a tal número. En 1811, el físico y químico Amadeo Avogadro planteó que el volumen de un gas, a una presión y temperatura concretas, no depende de la sustancia que lo constituye, Sino más bien que es únicamente proporcional al número de átomos o bien moléculas. Planteada la idea, hubo distintos intentos de calcular qué constante de proporcionalidad era esa, si existía. Por último (por supuesto, hay toda una larga historia detrás) se determinó su valor: 6.023 x 10^23. A continuación, en 1971, con la introducción del mol De este modo tal como unidad básica, ese número pasó a ser una magnitud física, con unidades mol^(–1) en el Sistema Internacional, llamándose A partir de entonces constante de Avogadro. Su valor es entonces 6.023 x 10^23 moléculas/mol. Veamos con un ejemplo qué mide. Consideremos un mol de agua. Sabemos que el agua consta de dos átomos de hidrógeno por uno de oxígeno (si es que desempolvamos la formulación elemental, eso está claro de su expresión química: H 2 O). Si localizamos en la tabla periódica el átomo de oxígeno (número atómico Z = 8) tiene un peso aproximado de 16 gramos, y el hidrógeno (Z = 1) un gramo. De modo que un mol de agua pesa 18 gramos y tiene 6.023 x 10^23 moléculas. Tomando la densidad del agua Así tal y como la unidad, una sencilla regla de tres (disculpas para los que las odian, No obstante que quieren que les diga, Me enseñaron lo poco que sé de química con ellas), nos está dando que un litro de agua (10^3 gramos), suponiendo que su densidad es la unidad, contiene Para hacer el cálculo acerca de la Tierra, se hace algo igual, Sólo que hay que contar en cuenta previamente la composición de los metales que contiene, que, más o bien menos es la siguiente: hierro, 34.6%; oxígeno, 29.54%, silicio, 15.2%; magnesio, 12,7%; níquel, 2,4%; azufre, 1.9% y titanio, 0.05%. Y Asimismo hay que juzgar el porcentaje de agua que tiene, que es un 71% de la superficie terrestre. Total, que, despues de tener en cuenta esos porcentajes, Finalmente podemos notar que el ‘mol de Tierra’ es de 38 gramos. Google nos dice que la masa de la Tierra se estima en 5.972 x 10^24 kilogramos. Luego una cuenta De exactamente la misma forma que la de Antes nos da De este modo tal como resultado Por redondear, pongamos que 10^50, es decir, un uno y cincuenta ceros. Un númerorealmente grande, Indudablemente. Una fácil baraja Sin embargo, es un número superable. Y Asimismo está en nuestra mano. Cojamos una baraja francesa, ya saben, la de póker, con sus diamantes, tréboles, corazones y picas. Tiene 52 cartas. ¿De cuántas formas diferentes podemos contar esas cartas? Aquí es donde entra la combinatoria que les decía Ya antes, y las permutaciones. Una permutación es cualquier cambio de orden que hagamos en los elementos de un grupo. Supongamos el orden inicial de las cartas de la baraja. La 1era carta es el as de corazones. ¿En cuántas posiciones distintos podemos situar el as de corazones en el mazo de naipes? Meridianamente en 52 posiciones, pues hay 52 cartas (la podemos colocar la primera, la segunda, la tercera, etc.). ¿Y la segunda carta, el dos de corazones? Teniendo presente que ya hemos considerado todas y cada una y cada una de las posiciones en que podemos colocar el as de corazones, a continuación nos quedan 51 posibilidades para el dos de corazones (dicho de otro modo, fijada la posición de la primera, quedan 51 posibilidades para la segunda). Considerando ambas a la vez, tendremos el producto 52 x 51 posibilidades. Para comprender por qué se multiplican, piénsenlo Solo con dos o tres cartas. Considerando todas y cada una y cada una de las cartas de la baraja, las 52 a la vez, nos encontramos con el producto lo que los matemáticos escribimos abreviadamente Al parecido que 52! (se lee 52 factorial). O BIEN sea, que el número total de permutaciones de un conjunto de n elementos es n! En la situación de la baraja de 52 cartas esa volumen, 52!, es 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 Si es que se toman la molestia de poseer el número de cifras que figuran, resultan ser 68, en otros términos, un 8 y 67 ceros. Del mandato por ende de 10^67. Muchísimo mayor que el número de átomos acerca de la Tierra, que les recuerdo eran del mandato de 10^50. Posiblemente el universo terminaría Ya antes de que llegáramos a disponer una mil millonésima comunicado de las posibilidades sin haber encontrado una repetición ¿Qué conclusiones podemos quitar de este valor? Aparte de la indicada (que el número de posibles configuraciones de una baraja de cartas es mayor que el número de átomos acerca de la Tierra), que si es que barajamos un mazo de cartas, es probable que el mandato exacto en el que lo pongamos, nunca haya existido Ya antes en la historia del universo, que jamás Ya antes nadie haya dispuesto esa configuración. ¡¡Y mira que hay y ha habido tahúres acerca de la faz de la Tierra!! Puesto que dada la inmensidad del número calculado de posibilidades de contar con las cartas, quizá el universo terminaría Antes de que llegáramos a disponer con una mil millonésima una parte de las posibilidades sin haber encontrado una repetición. Llegados a este punto, parémonos un instante. ¿Me estás diciendo que, del mogollón de veces que una persona ha jugado a las cartas, jamás ha dispuesto las cartas del mismo modo? Probablemente, jugando a un determinado juego, un solitario, por poner un ejemplo, sí hayamos repetido varias veces La misma configuración, pues los juegos de cartas tienden a ordenar el mazo de un determinado modo de contrato a sus reglas y a sus objetivos. O BIEN sea, En el momento en que que introducimos unas reglas, perdemos la aleatoriedad. En verdad, De la misma forma se ha estimado que es preciso barajar el mazo unas siete veces con alguna de las técnicas conocidas (por servirnos de un ejemplo, la popular mezcla americana, ‘riffle shuffle’, en inglés) para que quede perfectamente barajado (¡¡que se lo digan a los innumerables tramposos, en el buen sentido, que pululan por el mundo!!). Por presunto, la otra conclusión, que es la más interesante, es que Gracias a una fácil herramienta matemática soy capaz de saber exactamente el número total de configuraciones distintos que podría hacer con un mazo de 52 cartas (Si es que bien no tendría vida suficiente para detallarlas todas y cada una). Para la baraja española de 40 cartas, las cosas no son tan espectaculares, pues 40! = 815915283247897734345611269596115894272000000000 Es decir, ‘solo’ un ocho y cuarenta y siete dígitos, que no alcanzan el número estimado de átomos acerca de la Tierra. Así Puesto que, Una vez que vuelvan a coger una baraja de cartas, en las futuras Navidades, por ejemplo, háganlo con cierto respeto, pues tienen en su mano un número gigantesco de posibilidades. Y hay juegos con mayor número posible de configuraciones. ¿Se atreven a pensar en el ajedrez, o en el Go? Alfonso Jesús Población Sáez es maestro de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.